Der Untergruppenverband der S₄
30 Untergruppen in 11 Konjugationsklassen. Die Farbe zeigt die Konjugationsklasse, die Farbfamilie die Ordnung. Wähle einen Knoten, um Erzeuger, Elemente, Normalisator und Inklusionen zu sehen.
Übersicht nach Ordnung
| Ordnung | Anzahl | Klassen |
|---|
Warum V₄ normal ist
Konjugation benennt nur die Ziffern um: σ(a b)(c d)σ⁻¹ = (σ(a) σ(b))(σ(c) σ(d)). Doppeltranspositionen bleiben Doppeltranspositionen, und V₄ enthält alle drei. Also ist V₄ eine Vereinigung von Konjugationsklassen und damit normal.
Anders gesehen: S₄ permutiert die drei Paarzerlegungen {12|34}, {13|24}, {14|23}. Der Kern dieser Operation S₄ → S₃ ist V₄, also S₄/V₄ ≅ S₃.
Die Sylowgruppen
Die drei D₄ sind die Stabilisatoren der Paarzerlegungen. Ihr Schnitt ist V₄, und ihre Vereinigung enthält 3 · 8 − 3 · 4 + 4 = 16 Elemente, genau alle Elemente von 2-Potenz-Ordnung. Die vier ⟨(abc)⟩ sind die 3-Sylowgruppen mit Normalisator S₃.