Präsentation & Erzeuger
Algebraisch — eine Erzeugende, eine Relation
ℤn = ⟨a | aⁿ = e⟩ ≅ ({0,…,n−1}, + mod n)
Jede zyklische Gruppe der Ordnung n ist isomorph zu ℤn; die unendliche zyklische Gruppe ist ℤ = ⟨1⟩. Ein Element a ist genau dann Erzeuger, wenn gcd(a,n) = 1 — es gibt also φ(n) Erzeuger (Euler). Für eine Primzahl p ist jedes a ≠ 0 ein Erzeuger von ℤp.
Elementordnungen (Beispiel ℤ₁₂)
Tabellarisch — ord(a) = n / gcd(a,n)
In ℤ₁₂ erzeugt jedes Element genau die Untergruppe seiner Ordnung. Die Randfarbe zeigt, welche Untergruppe das ist.
| Elemente | Anzahl | Ord. | erzeugt |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | |
| 6 | 1 | 2 | |
| 4, 8 | 2 | 3 | |
| 3, 9 | 2 | 4 | |
| 2, 10 | 2 | 6 | |
| 1, 5, 7, 11 | 4 | 12 |
Die 4 Elemente der Ordnung 12 sind die Erzeuger — genau φ(12) = 4.
Untergruppen = Teiler von n
Strukturell — der Verband ist das Teilbarkeitsgitter
Für jeden Teiler d | n gibt es genau eine Untergruppe der Ordnung d, nämlich ⟨n/d⟩ ≅ ℤd (Satz 1.3.3 Hagen). Der Untergruppenverband von ℤn ist damit isomorph zum Teilbarkeitsgitter von n. Da ℤn abelsch ist, sind alle Untergruppen Normalteiler, und die Faktorgruppe ist wieder zyklisch: ℤn / ℤd ≅ ℤn/d.
Für ℤ₁₂ (Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 12) ergibt das den Verband im nächsten Abschnitt.
CRT, Kommutator & Sylow
Konzeptuell — Zerlegung in Primärkomponenten
Chinesischer Restsatz. ℤmn ≅ ℤm × ℤn genau dann, wenn gcd(m,n) = 1. Iteriert zerfällt jedes ℤn in ein direktes Produkt seiner Primärkomponenten, z. B. ℤ₁₂ ≅ ℤ₄ × ℤ₃.
Sylow. Die Primärkomponenten sind genau die Sylow-Untergruppen: für ℤ₁₂ ist die (eindeutige) 2-Sylow- und die 3-Sylow-Untergruppe. Weil ℤn abelsch ist, ist jede Sylow-Untergruppe eindeutig und normal.
Kommutator & Zentrum. [ℤn,ℤn] = {0} und Z(ℤn) = ℤn — abelsch heißt: trivialer Kommutator, Zentrum ist alles.
Teilbarkeitsgitter von ℤ₁₂
Diagrammatisch — 6 Untergruppen, alle normal
Jeder Knoten ist die eindeutige Untergruppe zu einem Teiler von 12; darunter steht ihr Erzeuger ⟨n/d⟩. Eine Linie heißt „ist maximale Untergruppe von". Ein Klick hebt dieselbe Untergruppe überall hervor.
ℤ₄ gegen V₄
Vergleichend — die zwei Gruppen der Ordnung 4
Ordnung 4 lässt genau zwei Gruppen zu. Die zyklische ℤ₄ und die nicht-zyklische V₄:
ℤ₄
- ein Element der Ordnung 4
- zyklisch, ⟨1⟩, φ(4)=2 Erzeuger
- eine Untergruppe der Ordnung 2
V₄ = ℤ₂ × ℤ₂
- alle Elemente ≠ e haben Ordnung 2
- nicht zyklisch
- drei Untergruppen der Ordnung 2
Prüfungsrelevanz & Anwendungen
Merkkern
- 1Genau eine Untergruppe je Teiler d | n (Verband = Teilbarkeitsgitter).
- 2a ist Erzeuger ⟺ gcd(a,n) = 1; es gibt φ(n) Erzeuger.
- 3CRT: ℤmn ≅ ℤm × ℤn ⟺ gcd(m,n) = 1.
- 4Elementordnung: ord(a) = n / gcd(a,n).
Anwendungen: