Präsentation & Erzeuger
Algebraisch — die Quaternionen-Relationen
Q₈ = {±1, ±i, ±j, ±k}, i² = j² = k² = ijk = −1
Abstrakt: ⟨α, β | α⁴ = e, α² = β², βα = α³β⟩. Zwei Erzeuger ⟨i, j⟩ genügen, denn k = ij. Das Zentrum hat Faktorgruppe Q₈/{±1} ≅ V₄ — modulo Vorzeichen verhalten sich i, j, k wie die drei Nichteinselemente der Kleinschen Vierergruppe.
Elemente nach Ordnung
Tabellarisch — 8 Elemente
Kennzeichen von Q₈: nur ein einziges Element der Ordnung 2 (nämlich −1), dafür sechs der Ordnung 4. Genau umgekehrt zu D₄.
| Element(e) | Anzahl | Ord. | erzeugt |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | |
| −1 | 1 | 2 | |
| ±i | 2 | 4 | |
| ±j | 2 | 4 | |
| ±k | 2 | 4 |
Summe: 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 8.
Verknüpfungstafel (Cayley-Tafel)
Tabellarisch — Eintrag = Zeile · Spalte (Zeile von links)
Man liest die Quaternionenregeln direkt ab: i·j = k, j·i = −k — nicht kommutativ. Jede der drei Untergruppen ⟨i⟩, ⟨j⟩, ⟨k⟩ ≅ ℤ₄ ist farblich zusammengefasst; das Zentrum {±1} steht überall im 2×2-Kern.
| · | 1 | −1 | i | −i | j | −j | k | −k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | −1 | i | −i | j | −j | k | −k |
| −1 | −1 | 1 | −i | i | −j | j | −k | k |
| i | i | −i | −1 | 1 | k | −k | −j | j |
| −i | −i | i | 1 | −1 | −k | k | j | −j |
| j | j | −j | −k | k | −1 | 1 | i | −i |
| −j | −j | j | k | −k | 1 | −1 | −i | i |
| k | k | −k | j | −j | −i | i | −1 | 1 |
| −k | −k | k | −j | j | i | −i | 1 | −1 |
Normalteiler & Kompositionsreihe
Strukturell — jede Untergruppe ist normal
Die fünf nicht-trivialen Untergruppen sind (Ordnung 2), sowie , , (Ordnung 4, alle ≅ ℤ₄). Die drei ℤ₄ haben Index 2 → normal; ⟨−1⟩ ist das Zentrum → normal. Es gibt nur eine Untergruppe der Ordnung 2, weil es nur ein Element der Ordnung 2 gibt.
Faktoren durchweg ℤ₂ — Q₈ ist auflösbar (jede p-Gruppe ist es).
Kommutator, Zentrum & Sylow
Konzeptuell — abelscher Kern und p-Struktur
Kommutatoruntergruppe. [Q₈,Q₈] = {±1} — genauso groß wie das Zentrum. Die Abelisierung ist Q₈/{±1} ≅ V₄: modulo Vorzeichen verhalten sich i, j, k wie die drei Nichteinselemente von V₄.
Zentrum. Z(Q₈) = {±1} ≅ ℤ₂. Wie bei D₄ fallen Kommutatoruntergruppe und Zentrum zusammen — und jede Untergruppe der Ordnung 4 enthält dieses Zentrum.
Bildungsart. Genau weil jede echte Untergruppe das Zentrum enthält, gibt es kein Komplement, das sich nur in {1} schneidet: Q₈ spaltet nicht und ist kein semidirektes Produkt — im Gegensatz zu D₄ = ℤ₄ ⋊ ℤ₂. Zum Vergleich der Bildungsarten (direkt/semidirekt) siehe die D₄-Seite.
Sylow. Wegen |Q₈| = 2³ ist Q₈ eine 2-Gruppe und damit ihre eigene, einzige 2-Sylow-Untergruppe.
Untergruppenverband
Diagrammatisch — 6 Untergruppen, alle normal
Alle Rahmen sind durchgezogen: jede Untergruppe ist Normalteiler. Die drei ℤ₄ treffen sich alle im Zentrum ⟨−1⟩ — ein besonders symmetrischer Verband. Ein Klick hebt dieselbe Untergruppe überall hervor.
Hamiltonsche Eigenschaft
Charakterisierend — nicht-abelsch und doch überall normal
Q₈ ist das kleinste hamiltonsche Beispiel: eine nicht-abelsche Gruppe, in der jede Untergruppe Normalteiler ist (KE 1 §1.5). Bei abelschen Gruppen ist das trivial — Q₈ zeigt, dass es auch ohne Kommutativität geht.
Anders als D₄ spaltet Q₈ nicht: Sie ist kein semidirektes Produkt echter Untergruppen. Jede Untergruppe der Ordnung 4 enthält das Zentrum ⟨−1⟩, also gibt es kein Komplement, das sich nur in {1} mit ihr schneidet. Deshalb ist Q₈ ≇ ℤ₄ ⋊ ℤ₂.
Q₈ gegen D₄
Vergleichend — die zwei nicht-abelschen Gruppen der Ordnung 8
Beide nicht-abelsch, auflösbar, Ordnung 8, Zentrum ℤ₂, Quotient V₄. Der Unterschied liegt in den Elementordnungen und im Aufbau:
Q₈
- 6 Elemente der Ordnung 4
- nur 1 Element der Ordnung 2
- spaltet nicht (hamiltonsch)
- alle UG normal
D₄
- 2 Elemente der Ordnung 4
- 5 Elemente der Ordnung 2
- ℤ₄ ⋊ ℤ₂ (spaltet)
- Spiegelungen nicht normal
Prüfungsrelevanz & Anwendungen
Merkkern
- 1Jede Untergruppe ist Normalteiler — kleinstes hamiltonsches Beispiel.
- 2Zentrum ≅ ℤ₂, Faktorgruppe Q₈/Z ≅ V₄.
- 3Merkmal: 6 Elemente der Ordnung 4, nur 1 der Ordnung 2.
- 4Q₈ und D₄ sind die einzigen nicht-abelschen Gruppen der Ordnung 8.
Anwendungen: