D₄ — durch viele Darstellungen

Präsentation & Erzeuger

Algebraisch — Rotation und Spiegelung

D₄ = ⟨σ, τ | σ⁴ = τ² = e, τστ = σ⁻¹⟩

σ ist die Drehung um 90°, τ eine Spiegelung. Die Relation τστ = σ⁻¹ sagt: Spiegeln kehrt den Drehsinn um. Daraus folgt der Aufbau als semidirektes Produkt ⟨σ⟩ ⋊ ⟨τ⟩ = ℤ₄ ⋊ ℤ₂ — der Normalteiler ⟨σ⟩ und das Komplement ⟨τ⟩ schneiden sich nur in e.

Die 8 Elemente: e, σ, σ², σ³ (Drehungen) und τ, τσ, τσ², τσ³ (Spiegelungen).

Elemente nach Ordnung

Tabellarisch — 8 Elemente

Genau 2 Elemente der Ordnung 4 (die echten Drehungen σ, σ³) und 5 der Ordnung 2 (die Halbdrehung σ² plus vier Spiegelungen) — das unterscheidet D₄ von Q₈.

Summe: 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 8.

Verknüpfungstafel (Cayley-Tafel)

Tabellarisch — Eintrag = Zeile · Spalte (Zeile von links)

Nicht kommutativ. Der linke obere 4×4-Block ist die zyklische Untergruppe ⟨σ⟩ ≅ ℤ₄. Farbe nach Konjugationsklasse: Drehungen σ, σ³, Zentrum σ², Achsenspiegelungen τ, σ²τ und Diagonalspiegelungen στ, σ³τ.

Normalteiler, Zentrum & Kompositionsreihe

Strukturell — reich an Normalteilern

Alle drei Untergruppen der Ordnung 4 haben Index 2 und sind damit Normalteiler: ⟨σ⟩ ≅ ℤ₄, ⟨σ²,τ⟩ ≅ V₄ und ⟨σ²,τσ⟩ ≅ V₄. Das Zentrum ⟨σ²⟩ ist der Schnitt aller drei. Nur die Spiegelungs-Untergruppen sind nicht normal.

Faktoren durchweg ℤ₂ — also ist D₄ auflösbar. Quotienten: D₄/⟨σ⟩ ≅ ℤ₂ und D₄/⟨σ²⟩ ≅ V₄.

Aufbau, Kommutator & Zentrum

Konzeptuell — wie sich Gruppen zusammensetzen und ihr abelscher Kern

Bildungsarten. Aus einem Normalteiler N und einer Untergruppe H entsteht eine größere Gruppe auf zwei Arten:

• Direktes Produkt N × H: beide Faktoren sind normal und kommutieren elementweise. Beispiel: V₄ ≅ ℤ₂ × ℤ₂.
• Semidirektes Produkt N ⋊ H: nur N ist normal, H wirkt per Automorphismus auf N. Beispiel: D₄ ≅ ⟨σ⟩ ⋊ ⟨τ⟩ = ℤ₄ ⋊ ℤ₂, denn τ invertiert σ (τστ = σ⁻¹).

D₄ spaltet: der Normalteiler ⟨σ⟩ und das Komplement ⟨τ⟩ schneiden sich nur in e. Ihre Schwester Q₈ spaltet dagegen nicht.

Kommutatoruntergruppe. [D₄,D₄] = ⟨σ²⟩, erzeugt von allen στσ⁻¹τ⁻¹. Die Abelisierung ist D₄/[D₄,D₄] ≅ V₄ — der „abelsche Schatten" von D₄.

Zentrum. Z(D₄) = ⟨σ²⟩ ≅ ℤ₂. Bei D₄ fallen Kommutatoruntergruppe und Zentrum zusammen; das Zentrum ist der Schnitt der drei Normalteiler der Ordnung 4.

Sylow. Wegen |D₄| = 2³ ist D₄ eine 2-Gruppe und damit ihre eigene, einzige 2-Sylow-Untergruppe. Umgekehrt tritt D₄ als 2-Sylow-Untergruppe von S₄ auf — dort mit n₂ = 3 Konjugierten.

Untergruppenverband

Diagrammatisch — 10 Untergruppen, Farbe = Konjugationsklasse

Durchgezogener Rahmen = Normalteiler. Auffällig: fast alles ist normal; nur die beiden Spiegelungsklassen (gestrichelt) sind es nicht. Ein Klick hebt dieselbe Klasse überall hervor.

Geometrie

Anschaulich — Symmetrien des Quadrats

D₄ gegen Q₈

Vergleichend — die zwei nicht-abelschen Gruppen der Ordnung 8

Beide sind nicht-abelsch, auflösbar und der Ordnung 8, mit Zentrum ℤ₂ und Quotient V₄. Unterscheiden lassen sie sich an den Elementordnungen:

Zur Q₈-Seite

Prüfungsrelevanz & Anwendungen

Merkkern

• 1D₄ und Q₈ sind die einzigen nicht-abelschen Gruppen der Ordnung 8 (Satz 2.3.2 Hagen).
• 2Drei Normalteiler der Ordnung 4 (alle Index 2); das Zentrum ⟨σ²⟩ ist ihr Schnitt.
• 3D₄ = ℤ₄ ⋊ ℤ₂ (spaltet), im Gegensatz zu Q₈.
• 4Merkmal: 2 Elemente der Ordnung 4, 5 der Ordnung 2.

Anwendungen: