Präsentation & Erzeuger
Algebraisch — die Gruppe durch Erzeuger und Relationen
S₄ ist die volle Permutationsgruppe auf {1,2,3,4}. Zwei Erzeuger genügen, etwa eine Transposition und ein 4-Zyklus:
S₄ = ⟨(12), (1234)⟩ = ⟨(12),(23),(34)⟩
Als Coxeter-Gruppe vom Typ A₃: ⟨s₁,s₂,s₃ | sᵢ² = (s₁s₂)³ = (s₂s₃)³ = (s₁s₃)² = e⟩ mit den Nachbartranspositionen sᵢ = (i, i+1).
Das Signum ist ein surjektiver Homomorphismus sgn: S₄ ↠ ℤ₂ mit Kern — daher S₄/A₄ ≅ ℤ₂.
Elemente nach Zykeltyp
Tabellarisch — die 24 Elemente in 5 Konjugationsklassen
Der Zykeltyp bestimmt Ordnung, Vorzeichen und Konjugationsklasse. Die Randfarbe zeigt, welchen zyklischen Untergruppentyp das Element erzeugt.
| Zykeltyp | Anzahl | Ord. | Vorz. | erzeugt |
|---|---|---|---|---|
| (1)(2)(3)(4) = e | 1 | 1 | +1 | |
| (a b) | 6 | 2 | −1 | |
| (a b)(c d) | 3 | 2 | +1 | |
| (a b c) | 8 | 3 | +1 | |
| (a b c d) | 6 | 4 | −1 |
Summe: 1+6+3+8+6 = 24. Die geraden Permutationen (Vorzeichen +1) bilden : 1+3+8 = 12.
Normalteiler & Kompositionsreihe
Strukturell — die Auflösung in abelsche Faktoren
S₄ hat genau vier Normalteiler: , , , . Sie bilden eine Kette mit lauter abelschen Faktoren — deshalb ist S₄ auflösbar:
V₄/{e} ≅ V₄, A₄/V₄ ≅ ℤ₃, S₄/A₄ ≅ ℤ₂ — alle abelsch. Beachte: ist der einzige normale Untergruppe der Ordnung 4 und zugleich die 2-Sylow-Untergruppe von A₄.
Kommutator & Zentrum. [S₄,S₄] = A₄ — die Kommutatoruntergruppe ist genau die alternierende Gruppe, denn Kommutatoren sind stets gerade. Die Abelisierung ist S₄/A₄ ≅ ℤ₂ (das Signum). Das Zentrum Z(S₄) = {e} ist trivial.
Untergruppenverband
Diagrammatisch — 30 Untergruppen in 11 Konjugationsklassen
Jeder Knoten ist eine Konjugationsklasse; die Farbfamilie kodiert die Ordnung, durchgezogene Rahmen markieren Normalteiler. Ein Klick hebt dieselbe Klasse in allen Darstellungen hervor.
Voller interaktiver Explorer →Der Explorer rechnet alle 30 Untergruppen aus den Permutationen, mit Elementen, Erzeugern und Normalisatoren.
Geometrie
Anschaulich — S₄ als Symmetriegruppe des Tetraeders
S₄ permutiert die vier Ecken des Tetraeders beliebig. Die 12 Drehungen bilden ; die restlichen 12 sind Drehspiegelungen (ungerade Permutationen).
Die drei stabilisieren je eine der drei Paarzerlegungen {12|34}, {13|24}, {14|23}. S₄ permutiert diese drei Paarungen — der Kern ist , also S₄/V₄ ≅ S₃.
Prüfungsrelevanz & Anwendungen
Merkkern — was in der Klausur zählt
- 1Genau 4 Normalteiler: , , , .
- 2 hat keine Untergruppe der Ordnung 6 — das klassische Gegenbeispiel zur Umkehrung des Satzes von Lagrange.
- 3S₄ ist auflösbar über die Kette {e} ◁ V₄ ◁ A₄ ◁ S₄ mit abelschen Faktoren.
- 4Sylow: n₂ = 3 (drei ), n₃ = 4 (vier ).
Anwendungen: