Präsentation & Erzeuger
Algebraisch — Erzeuger und Relationen
A₄ wird von einer Doppeltransposition und einem 3-Zyklus erzeugt:
A₄ = ⟨(12)(34), (123)⟩
Als abstrakte Präsentation: ⟨a,b | a² = b³ = (ab)³ = e⟩. A₄ ist der Kern des Signums sgn: S₄ ↠ ℤ₂, also Normalteiler vom Index 2.
Elemente nach Zykeltyp
Tabellarisch — die 12 geraden Permutationen
Nur gerade Permutationen: Identität, Doppeltranspositionen und 3-Zyklen. Keine Transpositionen und keine 4-Zyklen (die sind ungerade). Die Randfarbe zeigt den erzeugten zyklischen Untergruppentyp.
| Zykeltyp | Anzahl | Ord. | erzeugt |
|---|---|---|---|
| e | 1 | 1 | |
| (a b)(c d) | 3 | 2 | |
| (a b c) | 8 | 3 |
Summe: 1 + 3 + 8 = 12. Die drei Doppeltranspositionen bilden zusammen mit e die .
Normalteiler & Kompositionsreihe
Strukturell — Auflösung in abelsche Faktoren
A₄ hat genau drei Normalteiler: , , . V₄ ist die einzige Untergruppe der Ordnung 4 und als eindeutige 2-Sylow-Untergruppe automatisch normal.
V₄/{e} ≅ V₄, A₄/V₄ ≅ ℤ₃ — beide abelsch, also ist A₄ auflösbar.
Kommutator & Zentrum. [A₄,A₄] = V₄, die Abelisierung ist A₄/V₄ ≅ ℤ₃ — der abelsche Schatten von A₄. Das Zentrum Z(A₄) = {e} ist trivial.
Sylow. ist die eindeutige 2-Sylow-Untergruppe (n₂ = 1) und damit zwingend normal; die vier sind die 3-Sylow-Untergruppen (n₃ = 4, nicht normal).
Untergruppenverband
Diagrammatisch — die Untergruppen von A₄ nach Konjugationsklassen
Farbfamilie = Ordnung, durchgezogener Rahmen = Normalteiler. Auffällig: es fehlt jede Untergruppe der Ordnung 6 (siehe unten). Ein Klick hebt dieselbe Klasse überall hervor.
Kein Normalteiler der Ordnung 6
Beweisend — das klassische Gegenbeispiel zur Umkehrung von Lagrange
A₄ hat keine Untergruppe der Ordnung 6, obwohl 6 die Gruppenordnung 12 teilt.
Beweis (indirekt). Angenommen, es gäbe H ≤ A₄ mit |H| = 6. Dann ist [A₄ : H] = 2, also H ◁ A₄. Als Normalteiler ist H eine Vereinigung ganzer Konjugationsklassen. A₄ hat 8 Dreizyklen; H müsste sie enthalten (sonst wäre der Quotient nicht wohldefiniert), aber 8 > 6 — Widerspruch. Also existiert H nicht. □
Folgerung: Die Umkehrung des Satzes von Lagrange gilt nicht allgemein — Teilbarkeit von |G| durch d garantiert keine Untergruppe der Ordnung d.
Prüfungsrelevanz & Anwendungen
Merkkern — was in der Klausur zählt
- 1Einzige NT der Ordnung 4 ist — als eindeutige 2-Sylow-Untergruppe zwingend normal.
- 2Keine Untergruppe der Ordnung 6 → Umkehrung von Lagrange gilt nicht.
- 3Genau 4 Sylow-3-Untergruppen (), n₃ = 4, nicht normal.
Anwendungen: