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Matrixgruppen — GL, SL und die Anzahlformel

Die allgemeine lineare Gruppe GL(n, K) der invertierbaren n×n-Matrizen, ihre Untergruppe SL(n, K) und — über endlichen Körpern 𝔽q — die Zählung |GL(n, q)| aus der Zahl der Basen.

GL(n, K)

Definition
invertierbare n×n-Matrizen über K
Verknüpfung
Matrixmultiplikation
Kriterium
det A ≠ 0
Zentrum
Skalarmatrizen ≅ K×
abelsch
nur für n = 1
endlich
gdw. K endlich

Abschnitte

Verwandt

p-Gruppen Sylow-Sätze A₄ ≅ PSL(2,3)

Definition & det-Homomorphismus

Algebraisch — invertierbare Matrizen

Sei K ein Körper. Die allgemeine lineare Gruppe besteht aus allen invertierbaren Matrizen:

DefinitionGL(n, K) = { A ∈ Kn×n : det A ≠ 0 }  mit Matrixmultiplikation.

Die Determinante ist ein Gruppenhomomorphismus auf die multiplikative Gruppe K× = K∖{0}:

det : GL(n, K) ⟶ K×,   det(AB) = det(A)·det(B).

Er ist surjektiv (jede Diagonalmatrix diag(λ,1,…,1) trifft λ). Sein Kern ist die spezielle lineare Gruppe:

SL(n, K) = ker(det) = { A : det A = 1 }  ◁  GL(n, K).

Als Kern ist SL(n, K) ein Normalteiler, und nach dem Homomorphiesatz gilt GL(n, K) / SL(n, K) ≅ K×.

Anzahlformel |GL(n, 𝔽q)|

Kombinatorisch — Basen zählen

Über dem endlichen Körper 𝔽q (q = pk Primzahlpotenz) ist eine Matrix genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten eine Basis von 𝔽qn bilden. Also ist |GL(n, q)| die Zahl der geordneten Basen. Man wählt die Spalten nacheinander:

1. Spalte: irgendein Vektor ≠ 0  →  qn − 1 Möglichkeiten. 2. Spalte: nicht im Erzeugnis der 1. (q Vektoren)  →  qn − q. 3. Spalte: nicht im Erzeugnis der ersten 2 (q² Vektoren)  →  qn − q². ⋮ k-te Spalte: nicht im Erzeugnis der ersten k−1 (qk−1 Vektoren)  →  qn − qk−1.

Das Produkt aller Wahlmöglichkeiten ergibt:

Anzahlformel|GL(n, q)| = (qn−1)(qn−q)(qn−q²) ⋯ (qn−qn−1)

Klammert man aus jedem Faktor die Potenz von q aus (qn−qk−1 = qk−1(qn−k+1−1)), erhält man die geschlossene Form:

|GL(n, q)| = qn(n−1)/2 · ∏k=1n (qk − 1)

SL, PGL & PSL

Abgeleitete Gruppen

Aus GL/SL ≅ 𝔽q× mit |𝔽q×| = q−1 folgt sofort die Ordnung der speziellen linearen Gruppe:

|SL(n, q)| = |GL(n, q)| / (q − 1) = qn(n−1)/2 · ∏k=2n (qk − 1)

Faktorisiert man zusätzlich das Zentrum (Skalarmatrizen) heraus, entstehen die projektiven Gruppen — Quelle vieler einfacher Gruppen:

GruppeBildungOrdnung
PGL(n, q)GL / Z(GL)|GL| / (q−1)
PSL(n, q)SL / Z(SL)|SL| / ggT(n, q−1)

Für n ≥ 2 ist PSL(n, q) einfach — mit den beiden bekannten Ausnahmen PSL(2,2) ≅ S₃ und PSL(2,3) ≅ A₄.

Kleine Beispiele

Tabellarisch — konkrete Ordnungen

GruppeRechnungOrdnungIsomorphie
GL(1, q)q − 1q−1𝔽q× (zyklisch)
GL(2, 2)3 · 26≅ S₃ (= PSL(2,2))
GL(2, 3)8 · 648—
SL(2, 3)48 / 224binäre Tetraedergruppe
PSL(2, 3)24 / 212≅ A₄
GL(3, 2)7 · 6 · 4168≅ PSL(2,7) — einfach
SL(2, 4)180 / 360≅ A₅ — einfach
SL(2, 5)480 / 4120PSL(2,5) ≅ A₅

Musterrechnung GL(2, 3): (3²−1)(3²−3) = 8·6 = 48. Und qn(n−1)/2∏(qk−1) = 31·(3−1)(3²−1) = 3·2·8 = 48 — beide Formen stimmen überein.

Zentrum & Skalarmatrizen

Strukturell

Eine Matrix vertauscht genau dann mit allen invertierbaren Matrizen, wenn sie ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist (Schur-artiges Argument). Also:

Z(GL(n, K)) = { λ·I : λ ∈ K× } ≅ K×.   Über 𝔽q: |Z| = q − 1.

Für SL sind die zentralen Skalare die λ mit λn = 1, also Z(SL(n, q)) ≅ μn der Ordnung ggT(n, q−1) — das erklärt den Teiler in der PSL-Ordnung. GL ist für n ≥ 2 nicht-abelsch: das Zentrum ist nur ein kleiner Teil.

Prüfungsrelevanz & Anwendungen

Merkkern

  • 1|GL(n, q)| = ∏k=0n−1(qn−qk) — Herleitung über das Zählen von Basen.
  • 2det ist der Homomorphismus GL → K× mit Kern SL; daher |SL(n,q)| = |GL(n,q)|/(q−1).
  • 3Zentrum = Skalarmatrizen ≅ K×; PSL(n,q) ist (fast immer) einfach.
  • 4Merk-Isomorphien: GL(2,2)≅S₃, PSL(2,3)≅A₄, PSL(2,4)≅PSL(2,5)≅A₅, GL(3,2)≅PSL(2,7).

Anwendungen:

Darstellungstheorieendliche Gruppen vom Lie-TypCodierungstheorieprojektive Geometrie über 𝔽q