Präsentation & Erzeuger
Algebraisch — Drehung und Spiegelung
S₃ = ⟨σ, τ | σ³ = τ² = e, τστ = σ⁻¹⟩
σ ist die Drehung um 120° (ein 3-Zykel), τ eine Spiegelung (eine Transposition). Die Relation τστ = σ⁻¹ sagt: Spiegeln kehrt den Drehsinn um — genau die Wirkung, die S₃ zum semidirekten Produkt ⋊ macht.
Die 6 Elemente in Zyklenschreibweise: e, (123), (132) (Drehungen) und (12), (13), (23) (Spiegelungen). S₃ ist zugleich die volle Permutationsgruppe von {1, 2, 3}.
Elemente nach Ordnung
Tabellarisch — 6 Elemente
Zwei Elemente der Ordnung 3 (die Drehungen) und drei der Ordnung 2 (die Spiegelungen) — das ist zugleich die Aufteilung in Konjugiertenklassen.
| Element(e) | Anzahl | Ord. | Art |
|---|---|---|---|
| e | 1 | 1 | neutral |
| (123), (132) | 2 | 3 | Drehungen = |
| (12), (13), (23) | 3 | 2 | (konjugiert) |
Summe: 1 + 2 + 3 = 6. Drei Konjugiertenklassen ⇒ drei irreduzible Darstellungen (triviale, Signum, 2-dimensionale Standarddarstellung).
Verknüpfungstafel (Cayley-Tafel)
Tabellarisch — Eintrag = Zeile · Spalte (Zeile von links)
Nicht symmetrisch — S₃ ist nicht kommutativ, z. B. στ ≠ τσ. Der linke obere 3×3-Block ist die zyklische Untergruppe A₃ = {e, σ, σ²}; die drei Spiegelungen bilden die versetzten Nebenklassen. Farbe nach Elementordnung.
| · | e | σ | σ² | τ | στ | σ²τ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | σ | σ² | τ | στ | σ²τ |
| σ | σ | σ² | e | στ | σ²τ | τ |
| σ² | σ² | e | σ | σ²τ | τ | στ |
| τ | τ | σ²τ | στ | e | σ² | σ |
| στ | στ | τ | σ²τ | σ | e | σ² |
| σ²τ | σ²τ | στ | τ | σ² | σ | e |
Normalteiler, Zentrum & Kompositionsreihe
Strukturell
Der einzige nichttriviale echte Normalteiler ist (Index 2, daher automatisch normal). Die drei Spiegelungs-Untergruppen sind nicht normal — sie bilden eine einzige Konjugiertenklasse. Das Zentrum ist trivial: Z(S₃) = {e}.
Kompositionsfaktoren ℤ₃ und ℤ₂ — beide abelsch, also ist S₃ auflösbar. Kommutatoruntergruppe [S₃, S₃] = A₃, Abelisierung S₃ / A₃ ≅ ℤ₂ (das Signum).
Untergruppenverband
Diagrammatisch — 6 Untergruppen, Farbe = Konjugationsklasse
Durchgezogener Rahmen = Normalteiler. Nur die Spiegelungsklasse (gestrichelt, 3 konjugierte Kopien) ist nicht normal. Ein Klick hebt dieselbe Klasse überall hervor.
Geometrie
Anschaulich — Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks
S₃ sind die 6 Deckabbildungen des gleichseitigen Dreiecks: 3 Drehungen (0°, 120°, 240° = e, σ, σ²) und 3 Spiegelungen an den Achsen durch je eine Ecke und die gegenüberliegende Kantenmitte.
Weil jede Spiegelung eine andere Ecke fixiert, permutieren die Drehungen die drei Achsen zyklisch — deshalb sind alle drei konjugiert und keine ist normal.
Als semidirektes Produkt & Bezüge
Konzeptuell — wie S₃ aufgebaut ist
S₃ spaltet: der Normalteiler und ein Komplement schneiden sich nur in e, und ⟨τ⟩ wirkt per Inversion:
S₃ ist damit die kleinste Diedergruppe (D₃) und tritt an mehreren Stellen auf:
- als Punktstabilisator in S₄ (alle Permutationen, die eine feste Ziffer fixieren) — daher n = 4 konjugierte Kopien;
- als Quotient S₄ / V₄ ≅ S₃;
- als Matrixgruppe GL(2, 𝔽₂) ≅ S₃ (siehe Matrixgruppen).
Sylow: |S₃| = 2·3, also n₃ = 1 (A₃ normal) und n₂ = 3 (die drei Spiegelungs-Untergruppen).
Prüfungsrelevanz & Anwendungen
Merkkern
- 1Kleinste nicht-abelsche Gruppe; S₃ ≅ D₃ ≅ GL(2,2), Ordnung 6.
- 2Ein Normalteiler A₃ ≅ ℤ₃ (Index 2); drei konjugierte, nicht-normale ℤ₂; Zentrum {e}.
- 3S₃ = ℤ₃ ⋊ ℤ₂ (spaltet), auflösbar mit Kette {e} ◁ A₃ ◁ S₃.
- 4Tritt auf als S₄/V₄ und als Punktstabilisator in S₄.
Anwendungen: