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Direktes & semidirektes Produkt

Wie man aus einem Normalteiler N und einer Untergruppe H eine größere Gruppe zusammensetzt — die beiden Bildungsvorschriften, ihre Erkennungskriterien und Beispiele.

N ⋊ H

direkt
N × H
semidirekt
N ⋊φ H
Ordnung
|N|·|H|
N
stets normal
H
Komplement, N∩H = {e}
direkt ⟺
H normal / φ trivial

Abschnitte

Verwandt

D₄ = ℤ₄ ⋊ ℤ₂ V₄ = ℤ₂ × ℤ₂ Q₈ — spaltet nicht

Überblick

Konzeptuell — Gruppen zusammensetzen

Aus einem Normalteiler N ◁ G und einer Untergruppe H ≤ G mit N ∩ H = {e} und NH = G entsteht G auf zwei Arten — je nachdem, ob H ebenfalls normal ist:

Direkt · N × H

  • beide Faktoren normal
  • Elemente kommutieren: nh = hn
  • H wirkt trivial auf N

Semidirekt · N ⋊ H

  • nur N normal
  • H wirkt per Automorphismus auf N
  • direktes Produkt = Sonderfall (Wirkung trivial)

In beiden Fällen ist |G| = |N| · |H|. Man spricht von einer internen Zerlegung (N, H als Untergruppen von G) oder einer externen Konstruktion (G aus abstrakten N, H gebaut).

Direktes Produkt

Bildungsvorschrift & Beispiele

Externe Konstruktion. Auf der Menge N × H definiert man die Verknüpfung komponentenweise:

Verknüpfung (extern)(n1, h1) · (n2, h2) = (n1n2,  h1h2)

Interne Erkennung. Eine Gruppe G ist (isomorph zum) direkten Produkt zweier Untergruppen N, H, wenn:

N ◁ G  und  H ◁ G  und  N ∩ H = {e}  und  NH = G.

Dann kommutieren N und H elementweise, und G ≅ N × H. Beispiele:

  • V₄ = ℤ₂ × ℤ₂ — die Kleinsche Vierergruppe.
  • ℤ₆ ≅ ℤ₂ × ℤ₃ und allgemein ℤmn ≅ ℤm × ℤn für ggT(m,n)=1 (Chinesischer Restsatz).
  • Jede endliche abelsche Gruppe ist direktes Produkt zyklischer p-Gruppen (Hauptsatz).

Semidirektes Produkt

Bildungsvorschrift & Beispiele

Externe Konstruktion. Gegeben ein Gruppenhomomorphismus φ : H → Aut(N) (H „wirkt" auf N). Auf N × H definiert man die verdrehte Verknüpfung:

Verknüpfung (semidirekt)(n1, h1) · (n2, h2) = (n1 · φh1(n2),   h1h2)

Das Resultat heißt N ⋊φ H. Ist φ trivial (φh = id für alle h), reduziert sich die Regel auf das direkte Produkt. In G gilt die Rechenregel h n h−1 = φh(n) — H „verdreht" N per Konjugation.

Interne Erkennung (Spaltung). G ist semidirektes Produkt, wenn:

N ◁ G  und  H ≤ G  und  N ∩ H = {e}  und  NH = G.

H heißt dann ein Komplement zu N; die kurze exakte Folge 1 → N → G → H → 1 spaltet. Beispiele:

  • D₄ = ℤ₄ ⋊ ℤ₂: τ invertiert die Drehung, τστ = σ−1, also φ = Inversion. Allgemein Dn = ℤn ⋊ ℤ₂.
  • S₃ = ℤ₃ ⋊ ℤ₂ und S₄ = V₄ ⋊ S₃; allgemein Sn = An ⋊ ℤ₂.
  • Affine Gruppe Aff(1, 𝔽q) = 𝔽q ⋊ 𝔽q× (Translationen ⋊ Streckungen).

Erkennungskriterien im Vergleich

Direkt vs. semidirekt vs. keins

Bedingungdirekt N×Hsemidirekt N⋊H
N normal✓✓
H normal✓nur wenn φ trivial
N ∩ H = {e}✓✓
NH = G✓✓
Wirkung φ: H→Aut(N)trivialbeliebig
elementweise Kommutativitätjai. A. nein
Nicht-Beispiel: Q₈. Die Quaternionengruppe spaltet nicht: jede nichttriviale Untergruppe enthält das zentrale Element −1, daher hat kein Normalteiler ein Komplement mit trivialem Schnitt. Q₈ ist also weder direktes noch (nichttriviales) semidirektes Produkt echter Untergruppen — im Gegensatz zu ihrer Schwester D₄.

Beispiele auf einen Blick

Tabellarisch

GruppeZerlegungArtWirkung φ
V₄ℤ₂ × ℤ₂direkttrivial
ℤ₆ℤ₂ × ℤ₃direkt (CRT)trivial
D₄ℤ₄ ⋊ ℤ₂semidirektInversion σ ↦ σ⁻¹
S₃ℤ₃ ⋊ ℤ₂semidirektInversion
S₄V₄ ⋊ S₃semidirektS₃ permutiert V₄∖{e}
Q₈—weder/nochspaltet nicht

Prüfungsrelevanz & Anwendungen

Merkkern

  • 1Beide: N ◁ G, N∩H={e}, NH=G ⇒ |G| = |N|·|H|. Unterschied: ist auch H normal (direkt) oder nur N (semidirekt)?
  • 2Verknüpfungsregel semidirekt: (n₁,h₁)(n₂,h₂) = (n₁ φh₁(n₂), h₁h₂); direkt = trivialer Sonderfall.
  • 3Leitbeispiel D₄ = ℤ₄ ⋊ ℤ₂ (τστ = σ⁻¹); allgemein Dₙ, Sₙ = Aₙ ⋊ ℤ₂.
  • 4Q₈ spaltet nicht — kein (nichttriviales) semidirektes Produkt.

Anwendungen:

Klassifikation von GruppenDiedergruppen & Symmetrienaffine/euklidische GruppenErweiterungstheorie