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Die Sylow-Sätze

Existenz, Konjugation und Anzahl der maximalen p-Untergruppen. Das schärfste elementare Werkzeug, um aus |G| die Untergruppenstruktur zu erschließen und Normalteiler zu finden.

Sylow

Setup
|G| = pa·m, p∤m
Sylp
UG der Ordnung pa
Anzahl
np ≡ 1 (mod p)
np | m
normal
gdw. np = 1

Abschnitte

Verwandt

p-Gruppen S₄ A₄

Ausgangslage

Notation

Sei G eine endliche Gruppe. Wir spalten die Gruppenordnung nach einer Primzahl p auf:

Zerlegung|G| = pa · m   mit   ggT(p, m) = 1.

Eine Untergruppe der maximalen p-Potenz-Ordnung pa heißt Sylow-p-Untergruppe. Ihre Anzahl bezeichnen wir mit np.

Die drei Sätze

Existenz — Konjugation — Anzahl

Sylow I — Existenz

G besitzt mindestens eine Sylow-p-Untergruppe der Ordnung pa. Allgemeiner gibt es zu jedem k ≤ a eine Untergruppe der Ordnung pk.

Sylow II — Konjugation

Je zwei Sylow-p-Untergruppen sind zueinander konjugiert. Jede p-Untergruppe von G liegt in einer Sylow-p-Untergruppe.

Sylow III — Anzahl

Für die Anzahl np der Sylow-p-Untergruppen gilt:

np ≡ 1 (mod p)   und   np | m,    sowie   np = [G : NG(P)].

Normalteiler-Kriterium

Die wichtigste Folgerung

Da alle Sylow-p-Untergruppen konjugiert sind, ist eine von ihnen genau dann normal, wenn sie die einzige ist:

Sylp normal  ⟺  np = 1

Das macht die Sylow-Sätze zum Standardwerkzeug für Nicht-Einfachheit: findet man für ein p die Anzahl np = 1 erzwungen, so hat G einen nichttrivialen Normalteiler. Die Zählbedingungen „≡ 1 (mod p)" und „teilt m" schränken np oft auf den einzigen Wert 1 ein.

Beispiel S₄ und A₄

Tabellarisch — konkrete Sylow-Daten

S₄: |S₄| = 24 = 2³·3. A₄: |A₄| = 12 = 2²·3.

GruppeppanpSylow-Typnormal?
S₄283D₄nein (n₂=3: 3≡1 mod 2, 3|3)
S₄334ℤ₃nein (4≡1 mod 3, 4|8)
A₄241V₄ja — einziger, normal
A₄334ℤ₃nein

In A₄ erzwingt n2 ≡ 1 (mod 2) und n2 | 3 die Werte 1 oder 3; tatsächlich ist n2 = 1, also ist die V₄ ein Normalteiler. Die vier 3-Sylow-Untergruppen (n3 = 4) sind dagegen nicht normal — deshalb ist A₄ nicht nilpotent, aber noch auflösbar.

Beispiel: jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch

Musteranwendung — Zählargument

Sei |G| = 15 = 3·5. Wir bestimmen n3 und n5:

n5 ≡ 1 (mod 5) und n5 | 3  →  n5 ∈ {1}  (3 ist ≢ 1 mod 5)  ⇒ ein normaler Syl₅ ≅ ℤ₅. n3 ≡ 1 (mod 3) und n3 | 5  →  n3 ∈ {1}  (5 ist ≢ 1 mod 3)  ⇒ ein normaler Syl₃ ≅ ℤ₃. Beide normal, Schnitt trivial, Produkt = G  ⇒  G ≅ ℤ₃ × ℤ₅ ≅ ℤ₁₅.
Merke. Sind alle Sylow-Untergruppen normal, so ist G ihr direktes Produkt. Für teilerfremde Faktoren p, q mit q ≢ 1 (mod p) und p ≢ 1 (mod q) ist jede Gruppe der Ordnung pq zyklisch.

Prüfungsrelevanz & Anwendungen

Merkkern

  • 1Drei Sätze: Existenz von Sylp (Ord. pa), alle konjugiert, np ≡ 1 (mod p) und np | m.
  • 2Zentrale Folgerung: np = 1 ⟺ Sylp ist normal.
  • 3Zählargumente erzwingen oft np = 1 → Nicht-Einfachheit, Struktur.
  • 4Alle Sylow-UG normal ⇒ G = direktes Produkt seiner Sylow-Untergruppen.

Anwendungen:

Klassifikation von Gruppen kleiner OrdnungNicht-EinfachheitStruktur endlicher Gruppen