Definition
Grundlegend
Nach dem Satz von Cauchy/Lagrange hat jedes Element eine Ordnung, die eine p-Potenz ist. p-Gruppen sind die Sylow-Untergruppen beliebiger endlicher Gruppen — daher ihre zentrale Rolle.
Das Zentrum ist nichttrivial
Kernaussage — Beweis über die Klassengleichung
Die Klassengleichung zerlegt G nach Konjugiertenklassen. Zentrale Elemente bilden je eine Ein-Element-Klasse, nichtzentrale Repräsentanten xi Klassen der Größe [G : CG(xi)] > 1:
Jeder Index [G : CG(xi)] teilt |G| = pn und ist > 1, also durch p teilbar. Da auch |G| durch p teilbar ist, muss |Z(G)| durch p teilbar sein — insbesondere |Z(G)| ≥ p.
Folgerung (Ordnung p²). Ist |G| = p², so ist Z(G) = G oder |Z(G)| = p. Im zweiten Fall wäre G/Z(G) von Primordnung p, also zyklisch — und aus „G/Z zyklisch" folgt „G abelsch", Widerspruch. Also ist jede Gruppe der Ordnung p² abelsch: ℤp² oder ℤp × ℤp.
Nilpotenz, Auflösbarkeit & Normalreihe
Strukturell
Indem man wiederholt zum Zentrum übergeht (obere Zentralreihe), sieht man: jede p-Gruppe ist nilpotent, also erst recht auflösbar. Konkreter existiert eine Normalreihe mit lauter Faktoren ℤp:
Zu jedem Teiler pk von pn gibt es also einen Normalteiler dieser Ordnung. Maximale Untergruppen haben stets Index p und sind normal (sie enthalten die Frattini-Untergruppe). Das ist deutlich stärker als bei beliebigen Gruppen, wo die Umkehrung des Satzes von Lagrange scheitert (etwa A₄ ohne Untergruppe der Ordnung 6).
Kleine Ordnungen p, p², p³
Klassifikation
| Ordnung | # Gruppen | Typen |
|---|---|---|
| p | 1 | ℤp (zyklisch, einfach) |
| p² | 2 | ℤp², ℤp×ℤp — beide abelsch |
| p³ | 5 | 3 abelsch + 2 nicht-abelsch |
Für Ordnung p³ (p ungerade) sind die zwei nicht-abelschen Gruppen die Heisenberg-Gruppe (Exponent p) und eine Gruppe vom Exponenten p². Für p = 2 sind es D₄ und Q₈.
Die fünf Gruppen der Ordnung 8 = 2³
Leitbeispiel p = 2
| Gruppe | Art | Merkmal |
|---|---|---|
| ℤ₈ | abelsch, zyklisch | 1 Erzeuger, Ord. 8 |
| ℤ₄ × ℤ₂ | abelsch | Element max. Ordnung 4 |
| ℤ₂ × ℤ₂ × ℤ₂ | abelsch, elementar | alle Elemente Ord. ≤ 2 |
| D₄ | nicht-abelsch | 2 Elem. Ord. 4, 5 Elem. Ord. 2 |
| Q₈ | nicht-abelsch, hamiltonsch | 6 Elem. Ord. 4, 1 Elem. Ord. 2 |
D₄ und Q₈ sind die einzigen nicht-abelschen Gruppen der Ordnung 8 (Satz 2.3.2 Hagen). Beide haben Zentrum ℤ₂ und Quotient V₄.
Prüfungsrelevanz & Anwendungen
Merkkern
- 1Nichttriviales Zentrum: Beweis über die Klassengleichung — jeder nichtzentrale Klassenindex ist durch p teilbar.
- 2Ordnung p² ⇒ abelsch (weil G/Z nicht zyklisch sein kann).
- 3Jede p-Gruppe ist nilpotent, also auflösbar; Normalteiler zu jeder Ordnung pk.
- 4Fünf Gruppen der Ordnung 8; die einzigen nicht-abelschen sind D₄ und Q₈.
Anwendungen: