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Gruppen-Atlas

Alle ausgezeichneten Gruppen aus gruppen_uebersicht_v6.typ mit ihren inhaltlichen Bezügen. Jede Gruppe verlinkt auf ihre vernetzte Seite; jede Relation ist klickbar. Automatisch erzeugt aus den <gnode>-Metadaten via typst query.

S₄Ordnung 24

≅ S₄

nicht-abelschauflösbar
Zentrum
{e}
Kommutator
[G,G] = A₄

Bezüge

  • ◁enthält als Normalteiler A₄
  • ◁enthält als Normalteiler V₄
  • ≤enthält als Untergruppe D₄ (2-Sylow)
  • ≤enthält als Untergruppe S₃
  • ↠Faktorgruppe S₄/A₄ ≅ ℤ₂
  • ↠Faktorgruppe S₄/V₄ ≅ S₃
  • Syl2Sylow-Untergruppe D₄ (n2 = 3)
  • Syl3Sylow-Untergruppe ℤ₃ (n3 = 4)
A₄Ordnung 12

≅ A₄

nicht-abelschauflösbar
Zentrum
{e}
Kommutator
[G,G] = V₄

Bezüge

  • ▷ist Normalteiler/Untergruppe von S₄ (Normalteiler, Index 2)
  • ◁enthält als Normalteiler V₄
  • ↠Faktorgruppe A₄/V₄ ≅ ℤ₃
  • Syl2Sylow-Untergruppe V₄ (n2 = 1)
  • Syl3Sylow-Untergruppe ℤ₃ (n3 = 4)
D₄Ordnung 8

≅ D₄

nicht-abelschauflösbar
Zentrum
⟨σ²⟩ ≅ ℤ₂
Kommutator
[G,G] = ⟨σ²⟩

Bezüge

  • ▷ist Normalteiler/Untergruppe von S₄ (2-Sylow von S₄)
  • ◁enthält als Normalteiler ℤ₄ (⟨σ⟩)
  • ◁enthält als Normalteiler V₄
  • ×Produktzerlegung semidirekt ℤ₄ ⋊ ℤ₂
  • ↠Faktorgruppe D₄/ℤ₄ ≅ ℤ₂
  • ↠Faktorgruppe D₄/ℤ₂ ≅ V₄ (mod Zentrum)
  • ~Schwestergruppe Q₈ (Ordnung 8)
Q₈Ordnung 8

≅ Q₈

nicht-abelschauflösbarhamiltonsch
Zentrum
{±1} ≅ ℤ₂
Kommutator
[G,G] = {±1}

Bezüge

  • ◁enthält als Normalteiler ℤ₄ (⟨i⟩, ⟨j⟩, ⟨k⟩)
  • ↠Faktorgruppe Q₈/ℤ₂ ≅ V₄ (mod Zentrum)
  • ~Schwestergruppe D₄ (Ordnung 8)
S₃Ordnung 6

≅ D₃ ≅ ℤ₃ ⋊ ℤ₂

nicht-abelschauflösbar
Zentrum
{e}
Kommutator
[G,G] = A₃

Bezüge

  • ≤ist Untergruppe von S₄ (Punktstabilisator)
  • ↞Faktorgruppe S₄/V₄ ≅ S₃
  • ◁enthält als Normalteiler A₃ ≅ ℤ₃ (⟨(123)⟩, Index 2)
  • ×Produktzerlegung semidirekt ℤ₃ ⋊ ℤ₂
  • Syl2Sylow-Untergruppe ⟨τ⟩ ≅ ℤ₂ (n2 = 3)
  • ≅isomorph GL(2, 2)
V₄Ordnung 4

≅ ℤ₂ × ℤ₂

abelschauflösbar
Zentrum
V₄ (ganz)
Kommutator
[G,G] = {e}

Bezüge

  • ×Produktzerlegung direkt ℤ₂ × ℤ₂
  • ▷ist Normalteiler/Untergruppe von A₄ (Normalteiler)
  • ▷ist Normalteiler/Untergruppe von S₄ (Normalteiler)
  • ▷ist Normalteiler/Untergruppe von D₄ (normale UG)
  • Syl2Sylow-Untergruppe V₄ (n2 = 1) (eigene / Syl₂ von A₄)
ℤnOrdnung n

≅ ℤn

abelschauflösbar
Zentrum
ℤn (ganz)
Kommutator
[G,G] = {0}

Bezüge

  • ×Produktzerlegung direkt (CRT: ℤmn ≅ ℤm × ℤn falls ggT=1)
  • ≤enthält als Untergruppe ℤn (genau eine je Teiler d|n)
  • ↔Vergleich V₄ (ℤ₄ vs V₄)